从摩天轮到三角函数

--建模与应用

授课人：王金玲

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情境引入：“星光之眼”的真实运营挑战

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学习目标

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数学建模

能够从摩天轮运转的实际情境中抽象出圆周运动的几何特征，建立座舱高度关于时间的三角函数模型

$ℎ\left(t\right)=Asin(\omega t+\phi )+k$，深刻理解参数 $\text{𝐴}\text{,}\text{𝜔}\text{,}\text{𝜑}\text{,}\text{𝑘}$ 的几何意义与实际物理意义。

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数据分析

运用所构建的数学模型解决特定时刻高度、到达特定高度所需时间等实际问题，提升数学运算与数据

处理能力。

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感悟思想

经历"实际问题 → 观察特征 → 建立模型 → 求解验证"的数学建模全过程，深刻体会三角函数作为描述

周期性变化现象的有力工具，增强用数学眼光观察世界、解决现实问题的意识。

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情境引入：“星光之眼”的真实运营挑战

某城市新落成的摩天轮即将开业：最高点距地面 120 m，转盘直径 110 m，48 个座舱，逆时针匀速旋转，游客在最低点进舱，转一周约 30 min。

完美快门 · 最佳拍照时机

探究游客在何处视野最开阔且座舱最平稳，为摄影爱好者提供精准时间建议。

刺激体验 · 高度变化极值

分析摩天轮在何处垂直升降速度最快，为追求刺激的游客标注失重体验区。

黄金视野 · 最佳观景时段

通过设定高度阈值，计算适合长时间俯瞰城市风景的具体时间区间。

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建模过程：从实际问题到几何直观

提出问题

摩天轮的座舱固定在一个垂直于地面的圆上做 匀速圆周运动 。随着时间的变化，座舱（视为质点）距离地面的相对高度 H 与运动时间 t 之间，存在怎样的函数关系？

猜想：H 随 t 周期性变化

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最低点登舱 → 升到中线 → 到达最高点 → 一圈回到最低点。

这四个点恰好覆盖一个完整周期——四点，就足以确定一条正（余）弦型曲线。

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建模过程：从实际问题到几何直观

建模过程

高度函数模型： $ℎ\left(t\right)=Asin(\omega t+\phi )+K$

A：振幅（半径）　 $\text{𝜔}$ ：角速度　 $\text{𝜑}$ ：初相　k：竖直平移量（圆心高度）

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分析：将摩天轮抽象为一个几何图形，设经过t s后，游客（质点）M从点P0运动到点P．

思考：与摩天轮运动相关的量有哪些？它们之间有怎样的关系？

摩天轮的半径

起点

角速度

运动时间

摩天轮底部距离地面的高度

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“星光之眼”建模：物理条件 → 正弦模型参数

01 提取核心数据

直径 110 m、最高点 120 m、周期 30 min，游客从最低点登舱。

02 参数翻译与计算

半径定 A、最高点定 k、由周期定 ω，三个参数一次定完。

03 确定相位 · 写解析式

从最低点出发，$\text{𝜑}=-\frac{\text{𝜋}}{2}$，代入正弦模型。

$$ ℎ\left(t\right)=65+55sin(\frac{\pi t}{15}-\frac{\pi }{2})$$

高度 h 单位：米；时间 t 单位：分钟（等价于 h(t)=65−55cos(πt/15)）

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分析

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写成 h=65+55cos(πt/15)，问题出在哪？

正确模型

$$ ℎ\left(t\right)=65-55cos\frac{\pi t}{15}$$

t = 0：$ℎ\left(0\right)=65-55=10$

游客从最低点登舱，与事实相符。

对比

错误模型

$$ ℎ\left(t\right)=65+55cos\frac{\pi t}{15}$$

t = 0：$ℎ\left(0\right)=65+55=120$

游客一登舱就站在 120 米高空，荒谬。

判别诀窍：余弦前的正负号，由"出发位置"决定。从最低点出发取负，从最高点出发才取正——不能套模板。

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若忽略初始位置初相会怎样？

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把四个点代回去，模型经得起检验吗？

模型：$ℎ\left(t\right)=65-55cos\frac{\pi t}{15}$　逐一代入四个时刻：

四个点全部吻合——模型通过验证，可以放心用来回答运营问题了。

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分组挑战：制定最佳拍照与观景策略

将"视野最好"转化为求函数最大值，"适合观景"转化为解三角不等式。四个小组限时计算、结果PK，体会模型在运营决策中的价值。

任务一 · 第一、二组

寻找"黄金制高点"

游客何时到达视野最开阔的最高点？请大家结合模型 自己列式求解 ，并给出最佳拍照时间窗口。

提示：令高度函数取最大值，解出 t 值，再考虑实际拍照需要的稳定时间。

任务二 · 第三、四组

锁定"黄金观景期"

若高度不低于 92.5 米 为观景佳区，这一时段持续多久？请构建不等式并求解。

提示：令 h(t) ≥ 92.5，解三角不等式，算出每圈高空观景的总时长。

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挑战结果公布：运营决策建议

任务一答案 · 拍照运营建议

13 – 17 min

最高点在 t=15 min（H=120 m），推荐游客在第 13～17 分钟的"顶点平稳区"拍照，获得最佳视觉效果与拍摄稳定性。

✓ 任务一完成

任务二答案 · 黄金观景时段

约 1/3 圈

解 65−55cos(πt/15) ≥ 92.5，得 10 ≤ t ≤ 20 分钟为黄金观景期，占单圈时长约三分之一。

✓ 任务二完成

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运营一问：游客在第几分钟到达最高点？

令 $ℎ\left(t\right)=120$，解出 t：

第一步　$65-55cos\frac{\text{𝜋}\text{𝑡}}{15}=120$

第二步　$cos\frac{\text{𝜋}\text{𝑡}}{15}=-1$

第三步　$\frac{\text{𝜋}\text{𝑡}}{15}=\text{𝜋}+2\text{𝑘}\text{𝜋}\text{⇒}\text{𝑡}=15+30\text{𝑘}\text{,}\text{𝑘}\in \text{ℤ}$

答：游客在每圈的第 15 分钟到达最高点 120 米——正好登舱后半圈，与直觉一致。

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多高算"最佳观景"？游客能待多久？

令 $ℎ\left(t\right)\ge 92\mathrm{.}5$：

$$ 65-55cos\frac{\text{𝜋}\text{𝑡}}{15}\ge 92\mathrm{.}5\Rightarrow cos\frac{\text{𝜋}\text{𝑡}}{15}\le -\frac{1}{2}$$

解得 $\text{𝑡}\in \left(10\right|20)$（分钟）。

每圈高空观景时长

10 分钟

占整圈 30 分钟的三分之一，其余时间在中低层。

这就是运营"黄金观景窗"：第 10 到 20 分钟，正是拍照、看景的最佳时段。

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多高算"最佳观景"？游客能待多久？

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什么时候升降最快？

对模型求导：${ℎ}^{\prime }\left(t\right)=\frac{11\pi }{3}sin\frac{\pi t}{15}$

令 |h′(t)| 最大 → $sin\frac{\text{𝜋}\text{𝑡}}{15}=\pm 1$

即经过中线 $\text{𝑡}=7\mathrm{.}5\text{,}22\mathrm{.}5$（分钟）。

升降最快的时刻

7.5 / 22.5 分钟

直觉吻合：在中线时"一掠而过"，在最高点、最低点几乎停住。

导数最大 = 角速度在竖直方向的分量最大，这就是过山车"离心感"最强的位置。

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新标准：90 米以上每圈至少 15 分钟，达标吗？

解 $65-55cos\frac{\text{𝜋}\text{𝑡}}{15}\ge 90\Rightarrow cos\frac{\text{𝜋}\text{𝑡}}{15}\le -\frac{5}{11}$，一个周期内约占 35%：

现状：每圈高空时长

约 10.5 分钟

新标准要求：

15 分钟

结论：现状仅约 10.5 分钟 < 15 分钟，不达标。

问题来了：要把高空时长提到 15 分钟，工程上应该改大半径，还是改慢转速？

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从真实问题到运营方案，我们走了这条路

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该改大半径，还是改慢转速？

改大半径 R

高空占比由比值决定，改半径只能抬高"线"，不改占比；且结构成本高、安全风险大。

改慢转速（推荐）

周期拉长 → 同样占比对应的分钟数线性增加。由 10.5→15 分钟，周期应放大约 1.4 倍。

决策：把周期改为 T ≈ 43 分钟，成本最低、见效最快。

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从真实问题到运营方案，我们走了这条路

实际问题

提取数据

选模型

定参建式

验证应用

从游乐场的摩天轮，到大国工程

——中国天眼聆听宇宙的心跳、三峡大坝调控江水的涨落、港珠澳大桥用阻尼器抵御风振……

周期现象无处不在，三角函数模型无所不能，数学是认识世界的语言。

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课后作业：分层布置，各取所需

必做

基础层 · 参数迁移

若某摩天轮半径改为 60 米、圆心距地 60 米、周期 24 分钟，登舱仍在最低点：

① 写出高度模型 h(t)；② 求游客到达最高点的时刻；③ 与本题模型比较，初相是否改变？

选做

拓展层 · 工程挑战

直径 120 米、周期 20 分钟的摩天轮，要求 80 米以上每圈停留不少于 6 分钟，请判断是否达标并给出一条工程建议。

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从一座摩天轮，到一种思维方式

用数学的眼光观察世界，

用数学的思维解决工程问题。

今天，你们就是这座摩天轮的运营工程师。